미적분 예제

$e^{y} d x + (\cos (y) + x e^{y}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = e^{y}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{y}]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 은 $a^{y} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}$

단계 2

$N (x, y) = \cos (y) + x e^{y}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (y) + x e^{y}]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $\cos (y) + x e^{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

단계 2.2.2

$\cos (y)$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\cos (y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (y)$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$e^{y}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x e^{y}$ 의 미분은 $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y} \cdot 1$

단계 2.3.3

$e^{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y}$

단계 2.4

$0$ 를 $e^{y}$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $e^{y}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $e^{y}$ 을 대입합니다.

$e^{y} = e^{y}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$e^{y} = e^{y}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

단계 5

$M (x, y) = e^{y}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (y) + x e^{y}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = \cos (y) + x e^{y}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $e^{y} x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (y) + x e^{y}$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $e^{y} x$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ 입니다.

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (y) + x e^{y}$

단계 8.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 은 $a^{y} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (y) + x e^{y}$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = \cos (y) + x e^{y}$

단계 8.5

간단히 합니다.

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단계 8.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = \cos (y) + x e^{y}$

단계 8.5.2

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = \cos (y) + x e^{y}$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $x e^{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = \cos (y) + x e^{y} - x e^{y}$

단계 9.1.2

$\cos (y) + x e^{y} - x e^{y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$x e^{y}$ 에서 $x e^{y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = \cos (y) + 0$

단계 9.1.2.2

$\cos (y)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = \cos (y)$

단계 10

$\cos (y)$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = \cos (y)$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \cos (y) d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int \cos (y) d y$

단계 10.3

$\cos (y)$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\sin (y)$ 입니다.

$g (y) = \sin (y) + C$

단계 11

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{y} x + \sin (y) + C$

단계 12

$f (x, y) = e^{y} x + \sin (y) + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x e^{y} + \sin (y) + C$