미적분 예제

$\frac{d I}{d t} + 5 I = 10$ , $I (0) = 0$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (t) d t}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (t) = 5$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 5 d t}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{5 t + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{5 t}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{5 t}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 항에 $e^{5 t}$ 을 곱합니다.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + e^{5 t} (5 I) = e^{5 t} \cdot 10$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = e^{5 t} \cdot 10$

단계 2.3

$e^{5 t}$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 \cdot e^{5 t}$

단계 2.4

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 e^{5 t}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 I e^{5 t} = 10 e^{5 t}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} I] = 10 e^{5 t}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d t} [e^{5 t} I] d t = \int 10 e^{5 t} d t$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{5 t} I = \int 10 e^{5 t} d t$

단계 6

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$10$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{5 t} I = 10 \int e^{5 t} d t$

단계 6.2

먼저 $u = 5 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d t$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$u = 5 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$5 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [5 t]$

단계 6.2.1.2

$5$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $5 t$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 6.2.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 6.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{5 t} I = 10 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

단계 6.3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$e^{5 t} I = 10 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

단계 6.4

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{5 t} I = 10 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

단계 6.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$\frac{1}{5}$ 와 $10$ 을 묶습니다.

$e^{5 t} I = \frac{10}{5} \int e^{u} d u$

단계 6.5.2

$10$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

$10$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5} \int e^{u} d u$

단계 6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int e^{u} d u$

단계 6.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

단계 6.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{5 t} I = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

단계 6.5.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{5 t} I = 2 \int e^{u} d u$

단계 6.6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{5 t} I = 2 (e^{u} + C)$

단계 6.7

간단히 합니다.

$e^{5 t} I = 2 e^{u} + C$

단계 6.8

$u$ 를 모두 $5 t$ 로 바꿉니다.

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$

단계 7

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ 의 각 항을 $e^{5 t}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ 의 각 항을 $e^{5 t}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{5 t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

단계 7.2.1.2

$I$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$e^{5 t}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

단계 7.3.1.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$

단계 8

초기 조건을 활용하여 $I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ 에서 $t$ 에 $0$ 을, $I$ 에 $0$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$0 = 2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}}$

단계 9

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$

단계 9.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

단계 9.2.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$2 + \frac{C}{1} = 0$

단계 9.2.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 + C = 0$

단계 9.3

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$C = - 2$

단계 10

$I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ 의 $C$ 에 $- 2$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$C$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$I = 2 + \frac{- 2}{e^{5 t}}$

단계 10.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$I = 2 - \frac{2}{e^{5 t}}$