미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ 을 $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.3.1.1

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.3

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1.3.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.3.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.4

$- e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.5

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1.5.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.5.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.6

$- e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

단계 2.3.1.3.1.8

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.3.1.8.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

단계 2.3.1.3.1.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

단계 2.3.1.3.1.8.3

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.1.3.1.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.1.3.1.10

$e^{- 2 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.1.3.2

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.3

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.3.3.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.3.3.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.3.3.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.4

$e^{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.5

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.6

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.7

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{- 2 x} d x$

단계 2.3.8

먼저 $u_{2} = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

$u_{2} = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.3.8.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 2.3.8.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 2.3.8.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

단계 2.3.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

단계 2.3.9.2

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 2.3.10

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

단계 2.3.11

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 2.3.12

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

단계 2.3.13

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

단계 2.3.14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.14.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

단계 2.3.14.2

$u_{2}$ 를 모두 $- 2 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

단계 2.3.15

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + C_{5}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + K$