미적분 예제

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{x}{y}$

단계 1

$\frac{y}{x}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{x}{y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = 0$

단계 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

방정식의 양변에 $\frac{y}{x}$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{y} = \frac{y}{x}$

단계 1.1.2.2

방정식의 양변에 $\frac{x}{y}$ 를 더합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

단계 1.2

$\frac{x}{y}$ 을 ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

단계 2

$V = \frac{y}{x}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{y}{x}$ 에 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = V + V^{- 1}$

단계 3

$V = \frac{y}{x}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

$y = V x$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $x$ 에 대하여 $y = V x$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

단계 5

$\frac{d y}{d x}$ 에 $x \frac{d V}{d x} + V$ 를 대입합니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{- 1}$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V}$

단계 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V} - V$

단계 6.1.1.2.2

$V + \frac{1}{V} - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 0$

단계 6.1.1.2.2.2

$\frac{1}{V}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$

단계 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

단계 6.1.1.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

단계 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

단계 6.1.1.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.3.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.1.3.3.2

$\frac{1}{V}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x}$

단계 6.1.2

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

단계 6.1.3

양변에 $V$ 을 곱합니다.

$V \frac{d V}{d x} = V (\frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

단계 6.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

$\frac{1}{V}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

단계 6.1.4.2

$V$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.2.1

$V x$ 에서 $V$ 를 인수분해합니다.

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V (x)}$

단계 6.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

단계 6.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

단계 6.1.5

식을 다시 씁니다.

$V d V = \frac{1}{x} d x$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.2

멱의 법칙에 의해 $V$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} V^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

단계 6.2.3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} V^{2} = \ln (| x |) + C$

단계 6.3

$V$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} V^{2}) = 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 6.3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} V^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $V^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 6.3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 6.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$V^{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

단계 6.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$V^{2} = 2 \ln (| x |) + 2 C$

단계 6.3.3

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$V^{2} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

단계 6.3.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

단계 6.3.5

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 6.3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 6.3.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 6.3.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

단계 6.4

적분 상수를 간단히 합니다.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

단계 7

$V$ 에 $\frac{y}{x}$ 를 대입합니다.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

단계 8

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다시 씁니다.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

단계 8.2

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

단계 8.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

단계 8.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

단계 9

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ 을 $y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

다시 씁니다.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

단계 9.2

양변에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

단계 9.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

단계 9.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

단계 10

해를 나열합니다.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$