미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ , $y (16) = 6$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{2})$

단계 1.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2}} d y = x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 2.2.1.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y^{- 2} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{y} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$

단계 3.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$y, 3, 1$

단계 3.2.2

$y, 3, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $1, 3, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $y^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 3.2.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 3.2.4

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.5

$3$ 는 $1$ , $3$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$3$ 는 소수입니다

단계 3.2.6

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 3.2.7

$1, 3, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$3$

단계 3.2.8

$y^{1}$ 의 인수는 $y$ 자신입니다.

$y^{1} = y$

$y$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 3.2.9

$y^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y$

단계 3.2.10

$y, 3, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $3$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$3 y$

단계 3.3

$- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ 의 각 항에 $3 y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ 의 각 항에 $3 y$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

단계 3.3.2.1.2

$3 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

단계 3.3.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

단계 3.3.2.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- 1 \cdot 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

단계 3.3.2.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

단계 3.3.3.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

단계 3.3.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + K (3 y)$

단계 3.3.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$

단계 3.3.3.2

$2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 3 = 2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$

단계 3.4

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$

단계 3.4.2

$2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2 y x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + 3 K y = - 3$

단계 3.4.2.2

$3 K y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K) = - 3$

단계 3.4.2.3

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K)$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$

단계 3.4.3

$y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ 의 각 항을 $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ 의 각 항을 $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ 로 나눕니다.

$\frac{y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K)}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K} = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

단계 3.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.2.1

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

단계 3.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ 에서 $x$ 에 $16$ 을, $y$ 에 $6$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$6 = - \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{3}{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

단계 6.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{3} + K} = 6$

단계 6.2.4

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{3}{2 \cdot 64 + K} = 6$

단계 6.2.5

$2$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{128 + K} = 6$

단계 6.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$128 + K, 1$

단계 6.3.2

괄호를 제거합니다.

$128 + K, 1$

단계 6.3.3

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$128 + K$

단계 6.4

$- \frac{3}{128 + K} = 6$ 의 각 항에 $128 + K$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$- \frac{3}{128 + K} = 6$ 의 각 항에 $128 + K$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

단계 6.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$128 + K$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

$- \frac{3}{128 + K}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

단계 6.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

단계 6.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 = 6 (128 + K)$

단계 6.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 3 = 6 \cdot 128 + 6 K$

단계 6.4.3.2

$6$ 에 $128$ 을 곱합니다.

$- 3 = 768 + 6 K$

단계 6.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$768 + 6 K = - 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$768 + 6 K = - 3$

단계 6.5.2

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

방정식의 양변에서 $768$ 를 뺍니다.

$6 K = - 3 - 768$

단계 6.5.2.2

$- 3$ 에서 $768$ 을 뺍니다.

$6 K = - 771$

단계 6.5.3

$6 K = - 771$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.1

$6 K = - 771$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

단계 6.5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

단계 6.5.3.2.1.2

$K$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$K = \frac{- 771}{6}$

단계 6.5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.3.1

$- 771$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.3.1.1

$- 771$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$K = \frac{3 (- 257)}{6}$

단계 6.5.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.3.3.1.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

단계 6.5.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

단계 6.5.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$K = \frac{- 257}{2}$

단계 6.5.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$K = - \frac{257}{2}$

단계 7

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ 의 $K$ 에 $- \frac{257}{2}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $- \frac{257}{2}$ 를 대입합니다.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{257}{2}}$

단계 7.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{257}{2}}$

단계 7.2.2

$2 x^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{257}{2}}$

단계 7.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 257}{2}}$

단계 7.2.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{3}{\frac{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}{2}}$

단계 7.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - (3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257})$

단계 7.4

$3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$3$ 와 $\frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ 을 묶습니다.

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$

단계 7.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{6}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$