미적분 예제

$(3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}) d x + (e^{x + y} - 2 x + 4) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

단계 1.2.2

$3 x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3 x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 2 y$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

단계 1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

단계 1.4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

단계 1.4.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

단계 1.4.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.3

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + 1)$

단계 1.4.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \cdot 1$

단계 1.4.6

$e^{x + y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y}$

단계 1.5

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + e^{x + y}$

단계 2

$N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x + 4]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $e^{x + y} - 2 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.4

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.3.6

$e^{x + y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.4.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + 0$

단계 2.5.2

$e^{x + y} - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 2 + e^{x + y}$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $e^{x + y} - 2$ 을 대입합니다.

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int e^{x + y} - 2 x + 4 d y$

단계 5

$N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

단계 5.2

먼저 $u = x + y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.2.1

$u = x + y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 5.2.1.1

$x + y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [x + y]$

단계 5.2.1.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

단계 5.2.1.3

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

단계 5.2.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 5.2.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

단계 5.3

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

단계 5.4

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + \int 4 d y$

단계 5.5

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + 4 y + C$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{u} - 2 x y + 4 y + C$

단계 5.7

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.3.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.3.2

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.3.4

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.3.6

$e^{x + y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.4

$\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.4.1

$- 2 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x y$ 의 미분은 $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x + y} - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x + y} - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.4.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.5

$4 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4 y$ 입니다.

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.6

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.7

간단히 합니다.

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단계 8.7.1

$e^{x + y} - 2 y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 8.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - 2 y + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에 $2 y$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y$

단계 9.1.2

방정식의 양변에서 $e^{x + y}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$

단계 9.1.3

$3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.3.1

$- 2 y$ 를 $2 y$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0 + e^{x + y} - e^{x + y}$

단계 9.1.3.2

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + e^{x + y} - e^{x + y}$

단계 9.1.3.3

$e^{x + y}$ 에서 $e^{x + y}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

단계 9.1.3.4

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

단계 10

$3 x^{2}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

단계 10.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

단계 10.4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 10.5

답을 간단히 합니다.

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단계 10.5.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ 을 $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

단계 10.5.2

간단히 합니다.

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단계 10.5.2.1

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

단계 10.5.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

단계 10.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

단계 10.5.2.3

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$g (x) = x^{3} + C$

단계 11

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + x^{3} + C$