미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x^{3} \ln (x)$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = x^{3} \ln (x) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int x^{3} \ln (x) d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int x^{3} \ln (x) d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{3}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$y + C_{1} = \ln (x) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \ln (x) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.2.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{4}}{4}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

단계 2.3.3

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{1}{x} d x)$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

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단계 2.3.4.1

$x^{4}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4}}{x} d x)$

단계 2.3.4.2

$x^{4}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.4.2.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

단계 2.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

단계 2.3.4.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

단계 2.3.4.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

단계 2.3.4.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{3}}{1} d x)$

단계 2.3.4.2.2.5

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{3} d x)$

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int x^{3} d x$

단계 2.3.5

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

단계 2.3.6

답을 간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

단계 2.3.6.2

간단히 합니다.

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단계 2.3.6.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x)}{4} x^{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

단계 2.3.6.2.2

$\frac{\ln (x)}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

단계 2.3.6.2.3

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

단계 2.3.6.2.4

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \frac{\ln (x) x^{4}}{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

단계 2.3.7

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{4} x^{4} \ln (x) - \frac{1}{16} x^{4} + K$