미적분 예제

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = \arctan (x) + x y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $\arctan (x) + x y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

단계 1.2.2

$\arctan (x)$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\arctan (x)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\arctan (x)$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

단계 1.3.3

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

단계 1.4

$0$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

단계 2

$N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

단계 2.2

미분합니다.

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단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 2.2.2

$e^{y}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $e^{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $e^{y}$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

단계 2.3.3

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

단계 2.3.4

$\frac{2}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

단계 2.3.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

단계 2.3.5.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

단계 2.4

$0$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $x$ 을 대입합니다.

$x = x$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$x = x$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

단계 5

$N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

단계 5.2

$e^{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $e^{y}$ 입니다.

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

단계 5.4

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

단계 5.5

간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.2

미분합니다.

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단계 8.2.1

합의 법칙에 의해 $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.2.2

$e^{y}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $e^{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $e^{y}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.3.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.3.3

$\frac{y}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{2} y}{2}$ 의 미분은 $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.3.5

$2$ 와 $\frac{y}{2}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.3.6

$\frac{2 y}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.3.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.3.7.2

$y x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

단계 8.5

간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$0$ 를 $y x$ 에 더합니다.

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

단계 8.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $x y$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

단계 9.1.2

$\arctan (x) + x y - x y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$x y$ 에서 $x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

단계 9.1.2.2

$\arctan (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

단계 10

$\arctan (x)$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

단계 10.3

$u = \arctan (x)$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 10.4

$x$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

단계 10.5

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 10.5.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 10.5.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 10.5.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 10.5.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 10.5.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 10.5.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 10.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 10.6

간단히 합니다.

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단계 10.6.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 10.6.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

단계 10.6.3

$2$ 에 $u$ 을 곱합니다.

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 10.7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 10.8

괄호를 제거합니다.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

단계 10.9

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

단계 10.10

간단히 합니다.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

단계 10.11

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

단계 11

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

단계 12

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

단계 12.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

단계 12.1.3

$- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ 을 곱합니다.

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단계 12.1.3.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

단계 12.1.3.2

$\frac{1}{2}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 12.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 12.3

$- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

단계 12.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

단계 12.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.5.1

$- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ 을 곱합니다.

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단계 12.5.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

단계 12.5.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ 을 간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

단계 12.5.2

${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

단계 12.5.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

단계 12.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

단계 12.5.3

간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

단계 12.6

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$