미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = - 5 e^{x + 5}$ , $y (- 5) = 7$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = - 5 e^{x + 5} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int - 5 e^{x + 5} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int - 5 e^{x + 5} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = - 5 \int e^{x + 5} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = x + 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.2.1

$u = x + 5$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.2.1.1

$x + 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

단계 2.3.2.1.4

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = - 5 \int e^{u} d u$

단계 2.3.3

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$y + C_{1} = - 5 (e^{u} + C_{2})$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$y + C_{1} = - 5 e^{u} + C_{2}$

단계 2.3.5

$u$ 를 모두 $x + 5$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - 5 e^{x + 5} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = - 5 e^{x + 5} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = - 5 e^{x + 5} + K$ 에서 $x$ 에 $- 5$ 을, $y$ 에 $7$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$7 = - 5 e^{- 5 + 5} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$

단계 4.2

$- 5 e^{- 5 + 5} + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- 5 e^{0} + K = 7$

단계 4.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 5 \cdot 1 + K = 7$

단계 4.2.2.2

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 + K = 7$

단계 4.3

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.3.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$K = 7 + 5$

단계 4.3.2

$7$ 를 $5$ 에 더합니다.

$K = 12$

단계 5

$y = - 5 e^{x + 5} + K$ 의 $K$ 에 $12$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $12$ 를 대입합니다.

$y = - 5 e^{x + 5} + 12$