미적분 예제

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$

단계 1

모든 해는 $y = e^{r x}$ 형식인 것으로 가정합니다.

단계 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ 에 대한 특성 방정식을 구합니다.

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단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

단계 2.3

미분 방정식에 대입합니다.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

단계 2.4

괄호를 제거합니다.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

단계 2.5

$e^{r x}$ 로 인수분해합니다.

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단계 2.5.1

$r^{2} e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

단계 2.5.2

$- 3 r e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

단계 2.5.3

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

단계 2.5.4

$2 e^{r x}$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 4 x^{2}$

단계 2.5.5

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ 에서 $e^{r x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 4 x^{2}$

단계 2.6

지수는 절대 0이 될 수 없으므로 양쪽을 $e^{r x}$ 으로 나눕니다.

$r^{2} - 3 r + 2 = 4 x^{2}$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

방정식의 양변에서 $4 x^{2}$ 를 뺍니다.

$r^{2} - 3 r + 2 - 4 x^{2} = 0$

단계 3.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = 2 - 4 x^{2}$ 을 대입하여 $r$ 를 구합니다.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 - 4 x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.4

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.6

$9$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

단계 3.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.4

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.5

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.1.6

$9$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

단계 3.5.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

단계 3.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.4

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.5

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.1.6

$9$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

단계 3.6.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

단계 3.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

단계 4

$r$ 의 구한 값 두 개를 사용하여 두 개의 해를 구성할 수 있습니다.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

단계 5

중첩 원리에 의해 일반해는 2계 동차 선형 미분 방정식에 대한 두 해의 선형 결합입니다.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

단계 6.2

$\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}}$