미적분 예제

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

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단계 1.1

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$ 의 각 항을 $\cos (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

단계 1.2

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

단계 1.3

$\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

단계 1.4

$y$ 와 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \frac{1}{\cos (x)}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x}$

단계 2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 를 적분합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\int \tan (x) d x}$

단계 2.2.2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (x) |)$ 입니다.

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (\sec (x))}$

단계 2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\sec (x)$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $\sec (x)$ 을 곱합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.2.3

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.2.5

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.5.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.2.5.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.2.5.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.2.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.2.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.3

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

단계 3.4

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

단계 3.4.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

단계 3.4.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

단계 3.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

단계 3.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분수를 나눕니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.5.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.5.3

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.5.4

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.5.5

분수를 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.5.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.5.7

분수를 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.5.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.5.9

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.6

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 3.7

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 3.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

단계 3.9

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

단계 7

$\tan (x)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (x)$ 이므로, $\sec^{2} (x)$ 의 적분값은 $\tan (x)$ 이 됩니다.

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

단계 8

$\sec (x) y = \tan (x) + C$ 의 각 항을 $\sec (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\sec (x) y = \tan (x) + C$ 의 각 항을 $\sec (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$\sec (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

단계 8.3.1.2

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

단계 8.3.1.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

단계 8.3.1.4

$\cos (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

단계 8.3.1.5

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

단계 8.3.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

단계 8.3.1.6

분수를 나눕니다.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

단계 8.3.1.7

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

단계 8.3.1.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

단계 8.3.1.9

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

단계 8.3.1.10

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \sin (x) + C \cos (x)$