미적분 예제

$e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1) d x + 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)]$

단계 1.2

$e^{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ 의 미분은 $e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$

단계 1.3

합의 법칙에 의해 $y^{3} + x y^{3} + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 1.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 1.5

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y^{3}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

단계 1.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1])$

단계 1.7

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 \cdot x y^{2} + \frac{d}{d y} [1])$

단계 1.8

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2} + 0)$

단계 1.9

$3 y^{2} + 3 x y^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2})$

단계 1.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2}) + e^{x} (3 x y^{2})$

단계 1.10.2

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + e^{x} (3 x y^{2})$

단계 1.10.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$

단계 2

$N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} (x e^{x} - 6)]$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ 의 미분은 $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $x e^{x} - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 2.3

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 2.4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 2.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 2.5.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6])$

단계 2.5.3

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + 0)$

단계 2.5.4

$x e^{x} + e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x})$

단계 2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x}) + 3 y^{2} e^{x}$

단계 2.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ 을 대입합니다.

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y$

단계 5

$N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$3 (x e^{x} - 6)$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3 (x e^{x} - 6)$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) \int y^{2} d y$

단계 5.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

단계 5.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ 을 $(3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

단계 5.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3} + C$

단계 5.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

단계 5.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$y^{3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.2

$\frac{y^{3}}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}$ 의 미분은 $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18]$ 입니다.

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.3

합의 법칙에 의해 $3 x e^{x} - 18$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 가 됩니다.

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x e^{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ 입니다.

$\frac{y^{3}}{3} (3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.5

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.6

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.8

$- 18$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 18$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 18$ 입니다.

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.9

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x}) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.10

$3 (x e^{x} + e^{x})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.11

$3$ 와 $\frac{y^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.12

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.12.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.3.12.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} (x e^{x}) + y^{3} e^{x} + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 8.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

단계 9.1.2

$e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x} \cdot 1$

단계 9.1.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.2.1

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$

단계 9.1.2.2.2

$e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x}$

단계 9.1.3

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

방정식의 양변에서 $y^{3} x e^{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x}$

단계 9.1.3.2

방정식의 양변에서 $y^{3} e^{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$

단계 9.1.3.3

$y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.3.1

인수가 항 $x y^{3} e^{x}$ 과(와) $- y^{3} x e^{x}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} - e^{x} y^{3} x - y^{3} e^{x}$

단계 9.1.3.3.2

$e^{x} y^{3} x$ 에서 $e^{x} y^{3} x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + 0 + e^{x} - y^{3} e^{x}$

단계 9.1.3.3.3

$y^{3} e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} e^{x}$

단계 9.1.3.3.4

$y^{3} e^{x}$ 에서 $y^{3} e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

단계 9.1.3.3.5

$0$ 를 $e^{x}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

단계 10

$e^{x}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int e^{x} d x$

단계 10.3

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$g (x) = e^{x} + C$

단계 11

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$

단계 12

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = (3 x e^{x} \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

단계 12.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.2.1

$3 x e^{x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

단계 12.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

단계 12.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = (x e^{x} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

단계 12.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.1

$- 18$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 (- 6) \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

단계 12.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 \cdot - 6 \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

단계 12.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = (x e^{x} - 6) y^{3} + e^{x} + C$

단계 12.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$

단계 12.2

$f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x y^{3} e^{x} - 6 y^{3} + e^{x} + C$