미적분 예제

$(x + 2 y) d x + (2 x - y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x + 2 y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 2 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

단계 1.2.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

단계 1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

단계 1.4

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

단계 2

$N (x, y) = 2 x - y$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x - y]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $2 x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

$- y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + 0$

단계 2.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$2 = 2$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$2 = 2$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int x + 2 y d x$

단계 5

$M (x, y) = x + 2 y$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int x d x + \int 2 y d x$

단계 5.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 y d x$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 2 y x + C$

단계 5.4

간단히 합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + C$

단계 6

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x - y$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)] = 2 x - y$

단계 8.2

미분합니다.

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단계 8.2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

단계 8.2.2

$\frac{1}{2} x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{2} x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

단계 8.3

$\frac{d}{d y} [2 y x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$2 x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y x$ 의 미분은 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 + 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

단계 8.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

단계 8.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 2 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x - y$

단계 8.4

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$0 + 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - y$

단계 8.5

간단히 합니다.

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단계 8.5.1

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x + \frac{d g}{d y} = 2 x - y$

단계 8.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x = 2 x - y$

단계 9

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 x - y - 2 x$

단계 9.1.2

$2 x - y - 2 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

단계 9.1.2.2

$- y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = - y$

단계 10

$- y$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d y} = - y$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int - y d y$

단계 10.3

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$g (y) = - \int y d y$

단계 10.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

단계 10.5

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ 을 $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + 2 y x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

단계 12.2

$y^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + 2 y x - \frac{y^{2}}{2} + C$