미적분 예제

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

단계 1.2

양변에 $\sin (x)$ 을 곱합니다.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

단계 1.3.2

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$\sin (x)$ 와 $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

단계 1.3.2.2

괄호를 표시합니다.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

단계 1.3.2.3

$\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

단계 1.3.2.4

공약수로 약분합니다.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

단계 1.3.3

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

단계 2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

단계 2.3.3

$y^{2}$ 및 $y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$2 y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

단계 2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

단계 2.3.3.2.2

$y^{1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

단계 2.3.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

단계 2.3.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

단계 2.3.3.2.5

$2 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

단계 2.3.4

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

단계 2.3.5

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

간단히 합니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

단계 2.3.7.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

단계 2.3.7.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

단계 2.3.7.2.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

단계 2.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.2.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1.1

$\frac{y^{2}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.2

$- 1 \cdot y^{2}$ 을 $- y^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.3

$\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.4

$- 1 \cdot \ln (| y |)$ 을 $- \ln (| y |)$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

단계 3.1.3.1.5

$\frac{C}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

단계 3.1.3.1.6

$- 1 \cdot C$ 을 $- C$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

단계 3.2

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$