미적분 예제

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\cot (x) \frac{d y}{d x} - 2 y = 5$ 의 각 항을 $\cot (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

단계 1.2

$\cot (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cot (x) \frac{d y}{d x}}{\cot (x)} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

단계 1.3

$\frac{- 2 y}{\cot (x)}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{\cot (x)} = \frac{5}{\cot (x)}$

단계 1.4

$y$ 와 $\frac{- 2}{\cot (x)}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{\cot (x)} y = \frac{5}{\cot (x)}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{- 2}{\cot (x)}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{- 2}{\cot (x)} d x}$

단계 2.2

$\frac{- 2}{\cot (x)}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{\int - \frac{2}{\cot (x)} d x}$

단계 2.2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{2}{\cot (x)} d x}$

단계 2.2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\cot (x)} d x)}$

단계 2.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{- (2 \int \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} d x)}$

단계 2.2.4.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{- (2 \int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x)}$

단계 2.2.4.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$e^{- (2 \int \tan (x) d x)}$

단계 2.2.4.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \int \tan (x) d x}$

단계 2.2.5

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (x) |)$ 입니다.

$e^{- 2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$e^{- 2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 2 \ln (\sec (x))}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (\sec^{- 2} (x))}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\sec^{- 2} (x)$

단계 2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sec^{2} (x)}$

단계 2.7

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$

단계 2.8

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

${(\frac{1}{\sec (x)})}^{2}$

단계 2.9

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}})}^{2}$

단계 2.10

$\frac{1}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

${(1 \cos (x))}^{2}$

단계 2.11

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos^{2} (x)$

단계 3

각 항에 적분 인수 $\cos^{2} (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $\cos^{2} (x)$ 을 곱합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

분수를 나눕니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.2

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.4

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

수식을 다시 씁니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.5.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{2} (x) (\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.7

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.1

$\frac{- 2}{1} \cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (\frac{- 2}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{1} \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.8

$\frac{- 2}{1}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x)}{1} \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.9

$\frac{- 2 \cos (x)}{1}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{1} y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.2.10

$- 2 \cos (x) \sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) \frac{5}{\cot (x)}$

단계 3.3

분수를 나눕니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cot (x)})$

단계 3.4

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}})$

단계 3.5

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

단계 3.6

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

단계 3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

수식을 다시 씁니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

단계 3.7.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos^{2} (x) (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

단계 3.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos^{2} (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 3.9

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

$\frac{5}{1} \cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 3.9.2

공약수로 약분합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \cos (x) (\frac{5}{1} \cos (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 3.9.3

수식을 다시 씁니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5}{1} \cos (x) \sin (x)$

단계 3.10

$\frac{5}{1}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x)}{1} \sin (x)$

단계 3.11

$\frac{5 \cos (x)}{1}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = \frac{5 \cos (x) \sin (x)}{1}$

단계 3.12

$5 \cos (x) \sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$

단계 3.13

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 \cos (x) \sin (x) y = 5 \cos (x) \sin (x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} - 2 y \cos (x) \sin (x) = 5 \cos (x) \sin (x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] = 5 \cos (x) \sin (x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) y] d x = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$\cos^{2} (x) y = \int 5 \cos (x) \sin (x) d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int \cos (x) \sin (x) d x$

단계 7.2

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 7.2.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 7.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\cos^{2} (x) y = 5 \int - u d u$

단계 7.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\cos^{2} (x) y = 5 (- \int u d u)$

단계 7.4

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\cos^{2} (x) y = - 5 \int u d u$

단계 7.5

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

단계 7.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$- 5 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ 을 $- 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos^{2} (x) y = - 5 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

단계 7.6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.2.1

$- 5$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\cos^{2} (x) y = \frac{- 5}{2} u^{2} + C$

단계 7.6.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} u^{2} + C$

단계 7.7

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$

단계 8

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ 의 각 항을 $\cos^{2} (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\cos^{2} (x) y = - \frac{5}{2} \cos^{2} (x) + C$ 의 각 항을 $\cos^{2} (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$\cos^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$\cos^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{- \frac{5}{2} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.3.1.1.2

$- \frac{5}{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.3.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

단계 8.3.1.3

분수를 나눕니다.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.3.1.4

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 $\sec^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$y = - \frac{5}{2} + \frac{C}{1} \sec^{2} (x)$

단계 8.3.1.5

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - \frac{5}{2} + C \sec^{2} (x)$