미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x y + x + y + 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

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단계 1.1

인수분해합니다.

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단계 1.1.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 1.1.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) + y + 1$

단계 1.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) + 1 (y + 1)$

단계 1.1.2

최대공약수 $y + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x + 1)$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{y + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x + 1))$

단계 1.3

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x + 1))$

단계 1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x + 1$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x + 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x + 1 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

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단계 2.2.1

먼저 $u = y + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.2.1.1

$u = y + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 2.2.1.1.1

$y + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

단계 2.2.1.1.4

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} d u = \int x + 1 d x$

단계 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $y + 1$ 로 바꿉니다.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

단계 2.3.3

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y + 1 |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

단계 3.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

단계 3.3.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

단계 3.3.4

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C} - 1$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$ 을 $e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C} - 1$

단계 4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 1$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 1$