미적분 예제

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

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단계 1.1

항을 다시 정렬합니다.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

단계 1.2

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ 의 각 항을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 1.3

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 1.4

$\frac{y}{x^{2} + 1}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 1.5

$y$ 와 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ 입니다.

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단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

단계 2.2

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ 를 적분합니다.

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단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

단계 2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C$ 입니다.

$e^{\arctan (x) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\arctan (x)}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{\arctan (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

각 항에 $e^{\arctan (x)}$ 을 곱합니다.

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.2.2

$e^{\arctan (x)}$ 와 $\frac{y}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ 에서 $e^{\arctan (x)}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1.1

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ 에서 $e^{\arctan (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.5.1.2

$e^{\arctan (x)} y$ 에서 $e^{\arctan (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.5.1.3

$e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ 에서 $e^{\arctan (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.5.3

$\frac{d y}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.6

$e^{\arctan (x)}$ 와 $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 3.7

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

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단계 7.1

먼저 $u = \arctan (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ 이므로 $(x^{2} + 1) d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 7.1.1

$u = \arctan (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1.1

$\arctan (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

단계 7.1.1.2

$\arctan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

단계 7.1.1.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

단계 7.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

단계 7.2

$w = u$ 이고 $dv = e^{u}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

단계 7.3

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

단계 7.4

간단히 합니다.

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

단계 7.5

$u$ 를 모두 $\arctan (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

단계 8

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ 의 각 항을 $e^{\arctan (x)}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ 의 각 항을 $e^{\arctan (x)}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{\arctan (x)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$e^{\arctan (x)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

단계 8.3.1.1.2

$\arctan (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

단계 8.3.1.2

$e^{\arctan (x)}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

단계 8.3.1.2.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$