미적분 예제

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x - 1$

단계 1

방정식 좌변이 $x^{2} y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} y' + y (2 x)$

단계 1.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

단계 1.5

괄호를 제거합니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

단계 1.6

$y$ 를 옮깁니다.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x - 1$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x - 1 d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$x^{2} y = \int x - 1 d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

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단계 5.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x^{2} y = \int x d x + \int - 1 d x$

단계 5.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

단계 5.4

간단히 합니다.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

단계 6

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ 의 각 항을 $x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.2

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.2.1

$- x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1.2.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

단계 6.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$