미적분 예제

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

단계 1

미분 방정식을 다시 씁니다.

$y'' + 25 y = 0$

단계 2

$y'$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

단계 2.2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 2.3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$A$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $A \sin (5 x)$ 의 미분은 $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ 입니다.

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.2.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.2.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.2.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.2.6

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.2.7

$A$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.3.1

$B$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $B \cos (5 x)$ 의 미분은 $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ 입니다.

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

단계 2.3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.3.3.2.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.3.3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

단계 2.3.3.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

단계 2.3.3.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

단계 2.3.4

항을 다시 정렬합니다.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

단계 2.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

단계 3

$y''$ 를 구합니다.

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단계 3.1

도함수를 구합니다.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ 가 됩니다.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$5 A$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 A \cos (5 x)$ 의 미분은 $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ 입니다.

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.3.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.3.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.3.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.3.7

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$- 5 B$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 B \sin (5 x)$ 의 미분은 $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ 입니다.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

단계 3.4.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3.4.2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3.4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3.4.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

단계 3.4.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

단계 3.4.6

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

단계 3.4.7

$5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

단계 4

주어진 미분 방정식에 대입합니다.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

단계 5.2

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$- 25 A \sin (5 x)$ 를 $25 A \sin (5 x)$ 에 더합니다.

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

단계 5.2.2

$- 25 B \cos (5 x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

단계 5.2.3

$- 25 B \cos (5 x)$ 를 $25 B \cos (5 x)$ 에 더합니다.

$0 = 0$

단계 6

주어진 해는 주어진 미분 방정식을 만족합니다.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ 이 $y'' + 25 y = 0$ 의 해입니다.