미적분 예제

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{y^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

단계 1.2

$y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t + 1}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{t + 1} d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$y^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

단계 2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

단계 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\arctan (y) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{t + 1} d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

먼저 $u = t + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$u = t + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1.1

$t + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

단계 2.3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 2.3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

단계 2.3.1.1.4

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $t + 1$ 로 바꿉니다.

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| t + 1 |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\arctan (y) = \ln (| t + 1 |) + C$

단계 3

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $y$ 을 꺼냅니다.

$y = \tan (\ln (| t + 1 |) + C)$