미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 3)}^{2}$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = {(e^{x} + 3)}^{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int {(e^{x} + 3)}^{2} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 3)}^{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

${(e^{x} + 3)}^{2}$ 을 $(e^{x} + 3) (e^{x} + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 3) (e^{x} + 3) d x$

단계 2.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(e^{x} + 3) (e^{x} + 3)$ 를 전개합니다.

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단계 2.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 3) + 3 (e^{x} + 3) d x$

단계 2.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 3 + 3 (e^{x} + 3) d x$

단계 2.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 3 + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

단계 2.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.3.1.1

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 3 + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

단계 2.3.1.3.1.1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 3 + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

단계 2.3.1.3.1.2

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 3 \cdot e^{x} + 3 e^{x} + 3 \cdot 3 d x$

단계 2.3.1.3.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 3 e^{x} + 3 e^{x} + 9 d x$

단계 2.3.1.3.2

$3 e^{x}$ 를 $3 e^{x}$ 에 더합니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 6 e^{x} + 9 d x$

단계 2.3.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

단계 2.3.3

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.3.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.3.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.3.3.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.3.3.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.3.3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

단계 2.3.4

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

단계 2.3.5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

단계 2.3.6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 6 e^{x} d x + \int 9 d x$

단계 2.3.7

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 6 \int e^{x} d x + \int 9 d x$

단계 2.3.8

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 6 (e^{x} + C_{3}) + \int 9 d x$

단계 2.3.9

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 6 (e^{x} + C_{3}) + 9 x + C_{4}$

단계 2.3.10

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 6 e^{x} + 9 x + C_{5}$

단계 2.3.11

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 6 e^{x} + 9 x + C_{5}$

단계 2.3.12

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 9 x + 6 e^{x} + C_{5}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 9 x + 6 e^{x} + K$