미적분 예제

$(1 + x^{2}) d y = y d x$

단계 1

양변에 $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$1 + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$(1 + x^{2}) y$ 에서 $1 + x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

단계 2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

단계 2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

단계 2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$(1 + x^{2}) y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

단계 2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

단계 2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 3

양변을 적분합니다.

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단계 3.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 3.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 3.3

우변을 적분합니다.

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단계 3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 3.3.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C_{2}$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

단계 3.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = \arctan (x) + C$

단계 4

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (x) + C}$

단계 4.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = \arctan (x) + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\arctan (x) + C} = | y |$

단계 4.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.3.1

$| y | = e^{\arctan (x) + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{\arctan (x) + C}$

단계 4.3.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{\arctan (x) + C}$

단계 5

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 5.1

$e^{\arctan (x) + C}$ 을 $e^{\arctan (x)} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C}$

단계 5.2

$e^{\arctan (x)}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)}$

단계 5.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{\arctan (x)}$