미적분 예제

$\frac{d y}{4 d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 을 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x^{2}$

단계 1.2

$\frac{3 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x^{2}$

단계 1.3

$y$ 와 $\frac{3}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$

단계 1.4

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x^{2}$ 의 각 항에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d y}{d x} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

단계 1.5

$\frac{1}{4}$ 와 $\frac{d y}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

단계 1.6

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{4} \cdot 4 + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

단계 1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

단계 1.7

$\frac{3}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} \cdot 4 = x^{2} \cdot 4$

단계 1.8

$\frac{3 y}{x}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y \cdot 4}{x} = x^{2} \cdot 4$

단계 1.9

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = x^{2} \cdot 4$

단계 1.10

$x^{2}$ 와 $4$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{12 y}{x} = 4 \cdot x^{2}$

단계 1.11

$\frac{12 y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{12}{x} = 4 \cdot x^{2}$

단계 1.12

$y$ 와 $\frac{12}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{12}{x} y = 4 \cdot x^{2}$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{12}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{12}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{12}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{12 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{12 (\ln (| x |) + C)}$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

$e^{12 \ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{12 \ln (x)}$

단계 2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{12})}$

단계 2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{12}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $x^{12}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $x^{12}$ 을 곱합니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} (\frac{12}{x} y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{12}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{12} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

단계 3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$x^{12}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

단계 3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{11} \frac{12 y}{x} = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

단계 3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + x^{11} (12 y) = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

단계 3.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = x^{12} (4 \cdot x^{2})$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{12} x^{2}$

단계 3.4

지수를 더하여 $x^{12}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 (x^{2} x^{12})$

단계 3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{2 + 12}$

단계 3.4.3

$2$ 를 $12$ 에 더합니다.

$x^{12} \frac{d y}{d x} + 12 x^{11} y = 4 x^{14}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{12} y] = 4 x^{14}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x^{12} y] d x = \int 4 x^{14} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$x^{12} y = \int 4 x^{14} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{12} y = 4 \int x^{14} d x$

단계 7.2

멱의 법칙에 의해 $x^{14}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{15} x^{15}$ 가 됩니다.

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$

단계 7.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$4 (\frac{1}{15} x^{15} + C)$ 을 $4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{12} y = 4 (\frac{1}{15}) x^{15} + C$

단계 7.3.2

$4$ 와 $\frac{1}{15}$ 을 묶습니다.

$x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$

단계 8

$x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ 의 각 항을 $x^{12}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x^{12} y = \frac{4}{15} x^{15} + C$ 의 각 항을 $x^{12}$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x^{12}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{12} y}{x^{12}} = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{15}}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$x^{15}$ 및 $x^{12}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

$\frac{4}{15} x^{15}$ 에서 $x^{12}$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12}} + \frac{C}{x^{12}}$

단계 8.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

단계 8.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{12} (\frac{4}{15} x^{3})}{x^{12} \cdot 1} + \frac{C}{x^{12}}$

단계 8.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{4}{15} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{12}}$

단계 8.3.1.1.2.4

$\frac{4}{15} x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{4}{15} x^{3} + \frac{C}{x^{12}}$

단계 8.3.1.2

$\frac{4}{15}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{4 x^{3}}{15} + \frac{C}{x^{12}}$