미적분 예제

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x - (6 x + 1) d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$ 를 뺍니다.

$- (6 x + 1) d y = - \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

단계 2

양변에 $\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- (6 x + 1)) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

단계 3.2

$6 x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} (6 x + 1) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} (- \frac{1}{\cos^{2} (y)}) d x$

단계 3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

단계 3.4

$\cos^{2} (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$- \frac{\cos^{2} (y)}{6 x + 1}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- \cos^{2} (y)}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

단계 3.4.2

$- \cos^{2} (y)$ 에서 $\cos^{2} (y)$ 를 인수분해합니다.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

단계 3.4.3

공약수로 약분합니다.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{\cos^{2} (y) \cdot - 1}{6 x + 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)} d x$

단계 3.4.4

수식을 다시 씁니다.

$- \cos^{2} (y) d y = \frac{- 1}{6 x + 1} d x$

단계 3.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \cos^{2} (y) d y = - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \cos^{2} (y) d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.2

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (y)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.5

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (2 y) d y) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.6

먼저 $u_{1} = 2 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

$u_{1} = 2 y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1.1

$2 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y]$

단계 4.2.6.1.2

$2$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d y} [y]$

단계 4.2.6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 4.2.6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 4.2.6.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.7

$\cos (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.9

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{1})$ 입니다.

$- \frac{1}{2} (y + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{2})) = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.10

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.11

$u_{1}$ 를 모두 $2 y$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.12.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 y)$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.12.3

$y$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.12.4

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.12.4.1

$\frac{\sin (2 y)}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.12.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.2.13

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = \int - \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 x + 1} d x$

단계 4.3.2

먼저 $u_{2} = 6 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 6 d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$u_{2} = 6 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$6 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

단계 4.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $6 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$6 + 0$

단계 4.3.2.1.4.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6$

단계 4.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

단계 4.3.3.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

단계 4.3.4

$\frac{1}{6}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{4})$

단계 4.3.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

단계 4.3.7

$u_{2}$ 를 모두 $6 x + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C_{3} = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C_{4}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) = - \frac{1}{6} \ln (| 6 x + 1 |) + C$