미적분 예제

$2 x (x - 3 y) d y = - y (8 x - 9 y) d x$

단계 1

완전미분 방정식 해법에 맞도록 미분 방정식을 다시 작성합니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에 $y (8 x - 9 y) d x$ 를 더합니다.

$2 x (x - 3 y) d y + y (8 x - 9 y) d x = 0$

단계 1.2

다시 씁니다.

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 2

$M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

단계 2.2

$f (y) = y$ , $g (y) = 8 x - 9 y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $8 x - 9 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.2

$8 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $8 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $8 x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.4

$- 9$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 9 y$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$- 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.6.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 9$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

단계 2.3.8

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.8.1

$8 x - 9 y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

단계 2.3.8.2

$- 9 y$ 에서 $9 y$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

단계 3

$N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 3.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

단계 3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x (x - 3 y)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

단계 3.3

$f (x) = x$ , $g (x) = x - 3 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.3

$- 3 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.4.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

단계 3.4.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.6.1

$x - 3 y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

단계 3.4.6.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

단계 3.5.2

항을 묶습니다.

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단계 3.5.2.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

단계 3.5.2.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

단계 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $8 x - 18 y$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $4 x - 6 y$ 을 대입합니다.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

단계 4.2

좌측 변이 우측 변과 같지 않으므로 이 방정식은 항등식이 아닙니다.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ 는 항등식이 아닙니다.

단계 5

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $8 x - 18 y$ 를 대입합니다.

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

단계 5.2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $4 x - 6 y$ 를 대입합니다.

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

단계 5.3

$N$ 에 $2 x (x - 3 y)$ 를 대입합니다.

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단계 5.3.1

$N$ 에 $2 x (x - 3 y)$ 를 대입합니다.

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

단계 5.3.2

$8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1

$8 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

단계 5.3.2.2

$- 18 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

단계 5.3.2.3

$- (- 8 x) - (18 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

단계 5.3.2.4

$- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

단계 5.3.2.5

$- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ 을 $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

단계 5.3.2.6

$- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

단계 5.3.2.7

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.7.1

$2 x (x - 3 y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

단계 5.3.2.7.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

단계 5.3.2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.3.1

$- 4 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.3.2

$9 y$ 에서 $3 y$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.3.3

$- 2 x + 6 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.3.3.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.3.3.2

$6 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.3.3.3

$2 (- x) + 2 (3 y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.3.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.4

$- x + 3 y$ 및 $x - 3 y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.4.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.4.2

$3 y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.4.3

$- (x) - (- 3 y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.4.4

$- (x - 3 y)$ 을 $- 1 (x - 3 y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.4.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

단계 5.3.4.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

단계 5.3.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x}$

단계 5.4

적분 인수 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ 을 구합니다.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

단계 6

적분 $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ 을 구합니다.

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단계 6.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 6.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

단계 6.3

간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

단계 6.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

단계 6.4.3

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| x |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

단계 7

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ 의 양변에 적분 인수 $x^{2}$ 를 곱합니다.

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단계 7.1

$y (8 x - 9 y)$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.5

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1

$y$ 를 옮깁니다.

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.5.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.7.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.7.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.7.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.8

$2 x (x - 3 y)$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

단계 7.9

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.9.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.9.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.9.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.9.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

단계 7.10

분배 법칙을 적용합니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

단계 7.11

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.11.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

단계 7.11.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 7.11.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

단계 7.11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

단계 7.11.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

단계 7.12

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

단계 7.13

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

단계 8

집합 $f (x, y)$ 을 $M (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

단계 9

$M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 9.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

단계 9.2

$8 y$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8 y$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

단계 9.3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

단계 9.4

$- 9 y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 9 y^{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

단계 9.5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

단계 9.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 9.7

간단히 합니다.

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단계 9.7.1

$8$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 9.7.2

$8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.7.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 9.7.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.7.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 9.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 9.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 9.7.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

단계 9.7.3

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

단계 9.7.4

$- 9$ 와 $\frac{x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

단계 9.7.5

$y^{2}$ 와 $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

단계 9.7.6

$- 9$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.7.6.1

$y^{2} (- 9 x^{3})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

단계 9.7.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.7.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

단계 9.7.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

단계 9.7.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

단계 9.7.6.2.4

$y^{2} (- 3 x^{3})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

단계 10

$g (y)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (y)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

단계 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ 를 구합니다.

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단계 12.1

$y$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12.2

합의 법칙에 의해 $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12.3

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.3.1

$2 x^{4}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y x^{4}$ 의 미분은 $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12.4

$\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 12.4.1

$- 3 x^{3}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y^{2} (- 3 x^{3})$ 의 미분은 $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12.4.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12.5

$g (y)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d y}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 12.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

단계 13

$\frac{d g}{d y}$ 에 대해 풉니다.

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단계 13.1

$\frac{d g}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 13.1.1

방정식의 양변에서 $2 x^{4}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

단계 13.1.2

방정식의 양변에 $6 x^{3} y$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

단계 13.1.3

$2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 13.1.3.1

$2 x^{4}$ 에서 $2 x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

단계 13.1.3.2

$- 6 x^{3} y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

단계 13.1.3.3

$- 6 x^{3} y$ 를 $6 x^{3} y$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d y} = 0$

단계 14

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (y)$ 을 구합니다.

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단계 14.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

단계 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ 의 값을 구합니다.

$g (y) = \int 0 d y$

단계 14.3

$0$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (y) = 0 + C$

단계 14.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (y) = C$

단계 15

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ 에서 $g (y)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

단계 16

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$