미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{5 x}{2 y}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{5 x}{y \cdot 2}$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{5 x}{y \cdot 2}$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{2}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{5 x}{2} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{5 x}{2} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{5 x}{2} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{5}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{2} \int x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 을 $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$\frac{5}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{5}{4} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{5}{4} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{5}{4} x^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{5}{4} x^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{5}{4}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{5 x^{2}}{4} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{5 x^{2}}{4} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 2 \frac{5 x^{2}}{2 (2)} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{5 x^{2}}{2 \cdot 2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = \frac{5 x^{2}}{2} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 K}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 K}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 K$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{2}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2}}$

단계 3.4.2

$2 K$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{2} + 2 K \cdot 2}{2}}$

단계 3.4.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 x^{2} + 4 K}{2}}$

단계 3.4.5

$\sqrt{\frac{5 x^{2} + 4 K}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$

단계 3.4.6

$\frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 3.4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 3.4.7.1

$\frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 3.4.7.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 3.4.7.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 3.4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 3.4.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 3.4.7.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3.4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 3.4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 3.4.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x^{2} + 4 K} \sqrt{2}}{2}$

단계 3.4.8

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(5 x^{2} + 4 K) \cdot 2}}{2}$

단계 3.4.9

$\pm \frac{\sqrt{(5 x^{2} + 4 K) \cdot 2}}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + 4 K)}}{2}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + 4 K)}}{2}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + 4 K)}}{2}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + 4 K)}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (5 x^{2} + K)}}{2}$