미적분 예제

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

단계 1.2

$e^{- y^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x e^{- y^{2}}$ 에서 $e^{- y^{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

단계 1.3

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

$e^{- y^{2}}$ 의 지수의 부호를 반대로 바꾸고 분모 밖으로 빼냅니다.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2.2

${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2.2.2

$- y^{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.2.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

단계 2.2.1.2.2.2.2

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

단계 2.2.2

먼저 $u = y^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 y d y$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$u = y^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$y^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.2.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y$

단계 2.2.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

단계 2.2.3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

단계 2.2.5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

단계 2.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

단계 3.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$y^{2}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y^{2}})$ 을 전개합니다.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

단계 3.4.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

단계 3.4.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

단계 3.5

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

단계 3.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

단계 3.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

단계 3.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$