미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x \sin (x)$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x \sin (x)$

단계 1.2

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x \sin (x)$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = \frac{1}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{\ln (| x |) + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{\ln (x)}$

단계 2.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x$

단계 3

각 항에 적분 인수 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (x \sin (x))$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{x}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x \sin (x))$

단계 3.2.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (x \sin (x))$

단계 3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (x \sin (x))$

단계 3.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x \sin (x)$

단계 3.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{2} \sin (x)$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{2} \sin (x)$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$x y = \int x^{2} \sin (x) d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \sin (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

단계 7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

단계 7.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

단계 7.4

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

단계 7.5

$u = x$ 이고 $d v = \cos (x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

단계 7.6

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$x y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

단계 7.7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ 을 $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

단계 7.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

단계 7.7.2.2

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

단계 8

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$x y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

$- x^{2} \cos (x)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x^{1}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x \cdot 1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x (- x \cos (x))}{x \cdot 1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{- x \cos (x)}{1} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.1.2.5

$- x \cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = - x \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x} + \frac{C}{x}$

단계 8.3.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - x \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x}$

단계 8.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y = - x \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

단계 8.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- x \cos (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$y = - x \cos (x) \cdot \frac{x}{x} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

단계 8.3.4

$- x \cos (x)$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{- x \cos (x) x}{x} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

단계 8.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{- x \cos (x) x + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

단계 8.3.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = \frac{- (x \cdot x) \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

단계 8.3.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

단계 8.3.7

$- x^{2} \cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x)) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x}$

단계 8.3.8

$2 x \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x)) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x}$

단계 8.3.9

$- (x^{2} \cos (x)) - (- 2 x \sin (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x}$

단계 8.3.10

$2 \cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x}$

단계 8.3.11

$- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x}$

단계 8.3.12

$C$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x}$

단계 8.3.13

$- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x}$

단계 8.3.14

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.14.1

$- (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ 을 $- 1 (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{- 1 (x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x}$

단계 8.3.14.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x}$