미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

인수를 다시 묶습니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}}$

단계 1.2

양변에 $e^{y + 2}$ 을 곱합니다.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} (\frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y + 2}})$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

조합합니다.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}}$

단계 1.3.2

$e^{y + 2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

${(2 x - 1)}^{2} e^{y + 2}$ 에서 $e^{y + 2}$ 를 인수분해합니다.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = e^{y + 2} \frac{10 \cdot 1}{e^{y + 2} {(2 x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10 \cdot 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

단계 1.3.3

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}}$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$e^{y + 2} d y = \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int e^{y + 2} d y = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u_{1} = y + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u_{1} = y + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$y + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

단계 2.2.1.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

단계 2.2.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

단계 2.2.1.1.4

$2$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.2.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

단계 2.2.2

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $y + 2$ 로 바꿉니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = \int \frac{10}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u_{2} = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u_{2} = 2 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$2 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3.2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 2.3.2.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 2.3.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 2.3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 2.3.3.2

${u_{2}}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 2.3.4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $10$ 을 묶습니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{10}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 2.3.5.1.2

$10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 2.3.5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 2.3.5.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 2.3.5.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{5}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 2.3.5.1.2.2.4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 2.3.5.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.1

${u_{2}}^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

단계 2.3.5.2.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

단계 2.3.5.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

단계 2.3.6

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{- 2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- {u_{2}}^{- 1}$ 가 됩니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

단계 2.3.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.1

$5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ 을 $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

단계 2.3.7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.7.2.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.2

$- 5$ 와 $\frac{1}{u_{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

단계 2.3.7.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

단계 2.3.8

$u_{2}$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$e^{y + 2} + C_{1} = - \frac{5}{2 x - 1} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$e^{y + 2} = - \frac{5}{2 x - 1} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

단계 3.2

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$y + 2$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y + 2})$ 을 전개합니다.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

단계 3.2.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

단계 3.2.3

$y + 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$

단계 3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\ln (\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

분수 $\frac{- 5 + 2 K x - K}{2 x - 1}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

단계 3.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

분수 $\frac{- 5 + 2 K x}{2 x - 1}$ 를 두 개의 분수로 나눕니다.

$y + 2 = \ln (\frac{- 5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

단계 3.3.1.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} + \frac{- K}{2 x - 1})$

단계 3.3.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + 2 = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1})$

단계 3.4

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{2 K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \ln (- \frac{5}{2 x - 1} + \frac{K x}{2 x - 1} - \frac{K}{2 x - 1}) - 2$