미적분 예제

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $(1 + \ln (y)) d x$ 를 뺍니다.

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

단계 3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

단계 3.2

$\frac{1}{1 + \ln (y)}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

단계 3.3

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

단계 3.5

$1 + \ln (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

단계 3.5.2

$x (1 + \ln (y))$ 에서 $1 + \ln (y)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

단계 3.5.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

단계 3.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

단계 3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

먼저 $u_{1} = \ln (y)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ 이므로 $y d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$u_{1} = \ln (y)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$\ln (y)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

단계 4.2.1.1.2

$\ln (y)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{y}$ 입니다.

$\frac{1}{y}$

단계 4.2.1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.2

먼저 $u_{2} = 1 + u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$u_{2} = 1 + u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$1 + u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

단계 4.2.2.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + u_{1}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 4.2.2.1.3

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 4.2.2.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 4.2.2.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2.2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.3

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.4

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$u_{2}$ 를 모두 $1 + u_{1}$ 로 바꿉니다.

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.2.4.2

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (y)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

단계 5.2

로그의 곱의 성질 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 를 사용합니다.

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

단계 5.3

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

단계 5.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

단계 5.5.2

$\ln (| x + \ln (y) x |)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

단계 5.6

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

단계 5.7

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

단계 5.8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

단계 5.8.2

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.2.1

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

단계 5.8.2.2

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

단계 5.8.2.3

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.2.3.1

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

단계 5.8.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.2.3.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

단계 5.8.2.3.2.1.2

$\ln (y)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

단계 5.8.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.2.3.3.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.2.3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

단계 5.8.2.3.3.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

단계 5.8.2.4

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

단계 5.8.2.5

로그의 정의를 이용하여 $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

단계 5.8.2.6

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

단계 6

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$