미적분 예제

$2 \frac{d y}{d x} + 10 y = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d y}{d x}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

방정식의 양변에서 $10 y$ 를 뺍니다.

$2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$

단계 1.1.2

$2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

단계 1.1.2.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$- 10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

$- 10 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2}$

단계 1.1.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (1)}$

단계 1.1.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2 \cdot 1}$

단계 1.1.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{- 5 y}{1}$

단계 1.1.2.3.1.2.4

$- 5 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} - 5 y$

단계 1.2

양변에 $\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} (\frac{1}{2} - 5 y)$

단계 1.3

$\frac{1}{2} - 5 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} (\frac{1}{2} - 5 y)$

단계 1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = 1$

단계 1.4

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} d y = 1 d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} d y = \int d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

먼저 $u = \frac{1}{2} - 5 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 5 d y$ 이므로 $- \frac{1}{5} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$u = \frac{1}{2} - 5 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.1

$\frac{1}{2} - 5 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} - 5 y]$

단계 2.2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} - 5 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y]$

단계 2.2.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [- 5 y]$

단계 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [- 5 y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1.3.1

$- 5$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 5 y$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 - 5 \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 5 \cdot 1$

단계 2.2.1.1.3.3

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 5$

단계 2.2.1.1.4

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$- 5$

단계 2.2.1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 5} d u = \int d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{5}) d u = \int d x$

단계 2.2.2.2

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u \cdot 5} d u = \int d x$

단계 2.2.2.3

$u$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\int - \frac{1}{5 u} d u = \int d x$

단계 2.2.3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{5 u} d u = \int d x$

단계 2.2.4

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

단계 2.2.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- \frac{1}{5} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

$- \frac{1}{5} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

단계 2.2.7

$u$ 를 모두 $\frac{1}{2} - 5 y$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) + C_{1} = \int d x$

단계 2.3

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = x + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 5 (- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)) = - 5 (x + C)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$- 5 (- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |))$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$- 5 (- \frac{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5}) = - 5 (x + C)$

단계 3.2.1.1.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 5 \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

단계 3.2.1.1.2.2

$- 5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$5 (- 1) \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

단계 3.2.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$5 \cdot - 1 \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

단계 3.2.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$- - \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

단계 3.2.1.1.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

단계 3.2.1.1.3.2

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 x - 5 C$

단계 3.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)} = e^{- 5 x - 5 C}$

단계 3.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 x - 5 C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- 5 x - 5 C} = | \frac{1}{2} - 5 y |$

단계 3.5

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$| \frac{1}{2} - 5 y | = e^{- 5 x - 5 C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| \frac{1}{2} - 5 y | = e^{- 5 x - 5 C}$

단계 3.5.2

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$\frac{1}{2} - 5 y = \pm e^{- 5 x - 5 C}$

단계 3.5.3

방정식의 양변에서 $\frac{1}{2}$ 를 뺍니다.

$- 5 y = \pm e^{- 5 x - 5 C} - \frac{1}{2}$

단계 3.5.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\pm e^{- 5 x - 5 C}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 5 y = (\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 3.5.4.2

$\pm e^{- 5 x - 5 C}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 3.5.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$

단계 3.5.5

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$ 의 각 항을 $- 5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$ 의 각 항을 $- 5$ 로 나눕니다.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

단계 3.5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.2.1

$- 5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

단계 3.5.5.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

단계 3.5.5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

단계 3.5.5.3.2

$\pm e^{- 5 x - 5 C}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

단계 3.5.5.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} (- \frac{1}{5})$

단계 3.5.5.3.4

$\frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} (- \frac{1}{5})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.3.4.1

$\frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2 \cdot 5}$

단계 3.5.5.3.4.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{10}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x + C}) - 1}{10}$

단계 4.2

$e^{- 5 x + C}$ 을 $e^{- 5 x} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x} e^{C}) - 1}{10}$

단계 4.3

$e^{- 5 x}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - \frac{2 (\pm e^{C} e^{- 5 x}) - 1}{10}$

단계 4.4

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = - \frac{2 (C e^{- 5 x}) - 1}{10}$