미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 2 x$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 2 x d x}$

단계 1.2

$2 x$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 \int x d x}$

단계 1.2.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2

간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{1 x^{2} + C}$

단계 1.2.3.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x^{2} + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x^{2}}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{x^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.3

$e^{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

단계 2.4

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

단계 6.2

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$e^{x^{2}} y = C$

단계 7

$e^{x^{2}} y = C$ 의 각 항을 $e^{x^{2}}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{x^{2}} y = C$ 의 각 항을 $e^{x^{2}}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{x^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

단계 8

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

단계 9

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

단계 9.2

방정식의 양변에 $e^{0^{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

단계 9.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1

$e^{0^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

단계 9.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

단계 9.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.2.1

$e^{0^{2}} \cdot 1$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$C = e^{0} \cdot 1$

단계 9.3.2.1.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$C = 1 \cdot 1$

단계 9.3.2.1.3

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$C = 1$

단계 10

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ 의 $C$ 에 $1$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$C$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$