미적분 예제

$- 3 (y d) x + 2 x d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $3 y d x$ 를 더합니다.

$2 x d y = 3 y d x$

단계 2

양변에 $\frac{1}{x y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

단계 3.2

$2$ 와 $\frac{1}{x y}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

단계 3.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$x y$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

단계 3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

단계 3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (3 y) d x$

단계 3.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2}{y} d y = 3 \frac{1}{x y} y d x$

단계 3.5

$3$ 와 $\frac{1}{x y}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x y} y d x$

단계 3.6

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{y x} y d x$

단계 3.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{y} d y = \frac{3}{x} d x$

단계 4

양변을 적분합니다.

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단계 4.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

단계 4.2

좌변을 적분합니다.

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단계 4.2.1

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{3}{x} d x$

단계 4.2.3

간단히 합니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x} d x$

단계 4.3

우변을 적분합니다.

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단계 4.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} d x$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

단계 4.3.3

간단히 합니다.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| x |) + C_{2}$

단계 4.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$2 \ln (| y |) = 3 \ln (| x |) + C$

단계 5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |) = C$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2 \ln (| y |) - 3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (| y |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

단계 5.2.1.1.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| y |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$\ln (y^{2}) - 3 \ln (| x |) = C$

단계 5.2.1.1.3

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 3 \ln (| x |)$ 을 간단히 합니다.

$\ln (y^{2}) - \ln ({| x |}^{3}) = C$

단계 5.2.1.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$

단계 5.3

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}})} = e^{C}$

단계 5.4

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}) = C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{C} = \frac{y^{2}}{{| x |}^{3}}$

단계 5.5

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.5.1

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} = e^{C}$

단계 5.5.2

양변에 ${| x |}^{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

단계 5.5.3

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1

${| x |}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2}}{{| x |}^{3}} {| x |}^{3} = e^{C} {| x |}^{3}$

단계 5.5.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = e^{C} {| x |}^{3}$

단계 5.5.4

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.5.4.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$

단계 5.5.4.2

$\pm \sqrt{e^{C} {| x |}^{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1

$e^{C} {| x |}^{3}$ 을 ${| x |}^{2} (e^{C} | x |)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1.1

${| x |}^{2}$ 로 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{e^{C} ({| x |}^{2} | x |)}$

단계 5.5.4.2.1.2

$e^{C}$ 와 ${| x |}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} e^{C} | x |}$

단계 5.5.4.2.1.3

괄호를 표시합니다.

$y = \pm \sqrt{{| x |}^{2} (e^{C} | x |)}$

단계 5.5.4.2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm | x | \sqrt{e^{C} | x |}$

단계 5.5.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.