미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = 7 - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$u = 7 - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 2.3.2.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

단계 2.3.4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

단계 2.3.5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

단계 2.3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

간단히 합니다.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

단계 2.3.6.2

$\frac{1}{3}$ 와 $\ln (| u |)$ 을 묶습니다.

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

단계 2.3.7

$u$ 를 모두 $7 - x$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

단계 2.3.8

항을 다시 정렬합니다.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ 에서 $x$ 에 $6$ 을, $y$ 에 $19$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

단계 4

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

단계 4.2

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$7$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

단계 4.2.1.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

단계 4.2.1.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

단계 4.2.1.4

$- \frac{1}{3} \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

단계 4.2.1.4.2

$0$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$0 + C = 19$

단계 4.2.2

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$C = 19$

단계 5

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ 의 $C$ 에 $19$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$C$ 에 $19$ 를 대입합니다.

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

단계 5.2

$- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\ln (| 7 - x |)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

단계 5.2.2

$\frac{1}{3}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ 을 간단히 합니다.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$