미적분 예제

$x^{2} + x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = 0$

단계 1

$\frac{x}{y}$ 의 함수로 미분 방정식을 다시 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\frac{d x}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\frac{d x}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$x y + y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2}$

단계 1.1.1.2

방정식의 양변에서 $x y$ 를 뺍니다.

$y^{2} - y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y$

단계 1.1.1.3

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$

단계 1.1.2

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ 의 각 항을 $- y^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- y^{2} \frac{d x}{d y} = - x^{2} - x y - y^{2}$ 의 각 항을 $- y^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{- y^{2} \frac{d x}{d y}}{- y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.2.2

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.2.2.2

$\frac{d x}{d y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2}}{- y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{- x y}{- y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x y}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.3

$y$ 및 $y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.3.1

$x y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.3.2.1

$y^{2}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y x}{y \cdot y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{- y^{2}}{- y^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.4

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.5

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + \frac{y^{2}}{y^{2}}$

단계 1.1.2.3.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{x}{y} + 1$

단계 1.2

$\frac{x^{2}}{y^{2}}$ 을 ${(\frac{x}{y})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d x}{d y} = {(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 1$

단계 2

$V = \frac{x}{y}$ 라고 두고, $V$ 를 $\frac{x}{y}$ 에 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = V^{2} + V + 1$

단계 3

$V = \frac{x}{y}$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x = V y$

단계 4

곱의 미분 법칙을 사용해 $y$ 에 대하여 $x = V y$ 의 도함수를 구합니다.

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

단계 5

$\frac{d x}{d y}$ 에 $y \frac{d V}{d y} + V$ 를 대입합니다.

$y \frac{d V}{d y} + V = V^{2} + V + 1$

단계 6

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{d V}{d y}$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1

$\frac{d V}{d y}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.1

방정식의 양변에서 $V$ 를 뺍니다.

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + V + 1 - V$

단계 6.1.1.1.2

$V^{2} + V + 1 - V$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.1.2.1

$V$ 에서 $V$ 을 뺍니다.

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 0 + 1$

단계 6.1.1.1.2.2

$V^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$

단계 6.1.1.2

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ 의 각 항을 $y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.1

$y \frac{d V}{d y} = V^{2} + 1$ 의 각 항을 $y$ 로 나눕니다.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

단계 6.1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

단계 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

단계 6.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{2} + 1}{y}$

단계 6.1.3

양변에 $\frac{1}{V^{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

단계 6.1.4

$V^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{y}$

단계 6.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

단계 6.1.5

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{V^{2} + 1} d V = \frac{1}{y} d y$

단계 6.2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{V^{2} + 1} d V = \int \frac{1}{y} d y$

단계 6.2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

$V^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

단계 6.2.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{1^{2} + V^{2}} d V = \int \frac{1}{y} d y$

단계 6.2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + V^{2}}$ 를 $V$ 에 대해 적분하면 $\arctan (V) + C_{1}$ 입니다.

$\arctan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

단계 6.2.3

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\arctan (V) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

단계 6.2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\arctan (V) = \ln (| y |) + C$

단계 6.3

방정식의 양변에서 역 아크탄젠트를 취하여 아크탄젠트 안의 $V$ 을 꺼냅니다.

$V = \tan (\ln (| y |) + C)$

단계 7

$V$ 에 $\frac{x}{y}$ 를 대입합니다.

$\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$

단계 8

$\frac{x}{y} = \tan (\ln (| y |) + C)$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{y} y = \tan (\ln (| y |) + C) y$

단계 8.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \tan (\ln (| y |) + C) y$

단계 8.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$\tan (\ln (| y |) + C) y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x = y \tan (\ln (| y |) + C)$