미적분 예제

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

단계 1

방정식 좌변이 $(1 + x^{2}) y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = 1 + x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 1.3

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

단계 1.6

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

단계 1.7

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

단계 1.8

$1$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

단계 1.9

괄호를 제거합니다.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

단계 1.10

$y$ 를 옮깁니다.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

단계 5

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

단계 5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

단계 5.3

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 5.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 5.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$3$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 5.4.2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 5.4.2.3

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.3.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 5.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 5.4.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 5.4.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 5.4.2.3.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ 의 각 항을 $1 + x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ 의 각 항을 $1 + x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$1 + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$