미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{9 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{9 y}$

단계 1.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$9 y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 9}$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y \cdot 9}$

단계 1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{9}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y d y = \frac{x}{9} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y d y = \int \frac{x}{9} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{9} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$\frac{1}{9}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} \int x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$\frac{1}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 을 $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{9 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.3.2.2

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{18} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{18} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{18} x^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$\frac{1}{18}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{18} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{18} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 (9)} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2 \cdot 9} + 2 K$

단계 3.2.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9} + 2 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K}$

단계 3.4

$\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 K$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 K \cdot \frac{9}{9}}$

단계 3.4.2

$2 K$ 와 $\frac{9}{9}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + \frac{2 K \cdot 9}{9}}$

단계 3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K \cdot 9}{9}}$

단계 3.4.4

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 18 K}{9}}$

단계 3.4.5

$\frac{x^{2} + 18 K}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} (x^{2} + 18 K)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.5.1

$x^{2} + 18 K$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{9}}$

단계 3.4.5.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}}$

단계 3.4.5.3

분수 $\frac{1^{2} (x^{2} + 18 K)}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (x^{2} + 18 K)}$

단계 3.4.6

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{x^{2} + 18 K}$

단계 3.4.7

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt{x^{2} + 18 K}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

단계 3.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

단계 3.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

단계 3.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + 18 K}}{3}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x^{2} + K}}{3}$