미적분 예제

$\frac{d y}{d x} + y = x^{3}$

단계 1

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 1$ 입니다.

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단계 1.1

적분을 구합니다.

$e^{\int d x}$

단계 1.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{x + C}$

단계 1.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{x}$

단계 2

각 항에 적분 인수 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 2.1

각 항에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$

단계 2.2

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{3} e^{x}$

단계 3

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{3} e^{x}$

단계 4

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{3} e^{x} d x$

단계 5

좌변을 적분합니다.

$e^{x} y = \int x^{3} e^{x} d x$

단계 6

우변을 적분합니다.

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단계 6.1

$u = x^{3}$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

단계 6.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

단계 6.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

단계 6.4

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

단계 6.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

단계 6.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

단계 6.7

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

단계 6.8

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

단계 6.9

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ 을 $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

단계 7

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ 의 각 항을 $e^{x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.1.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.2

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.3.1.2.1

$x^{2} e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.2.2

$- 2 x e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.2.3

$2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.2.4

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.2.5

$e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x + 2))}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.3

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.3.2

$- 3 (x^{2} - 2 x + 2)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = x^{3} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.5

간단히 합니다.

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단계 7.3.1.5.1

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

단계 7.3.1.5.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{C}{e^{x}}$