미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

단계 1

방정식 좌변이 $x y$ 항의 도함수 결과값인지 확인합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x y' + y \cdot 1$

단계 1.4

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

단계 1.5

$y$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

단계 1.6

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x \frac{d y}{d x} + y$

단계 2

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

단계 3

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

단계 4

좌변을 적분합니다.

$x y = \int x d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 6

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1.1.1

$\frac{1}{2} x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.1.2.5

$\frac{1}{2} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

단계 6.3.1.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

단계 7

초기 조건을 활용하여 $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ 에서 $x$ 에 $1$ 을, $y$ 에 $2$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

단계 8

$C$ 에 대해 풉니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

단계 8.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} + C = 2$

단계 8.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 8.3.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{2}$ 를 뺍니다.

$C = 2 - \frac{1}{2}$

단계 8.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 8.3.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 8.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

단계 8.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$C = \frac{4 - 1}{2}$

단계 8.3.5.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$C = \frac{3}{2}$

단계 9

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ 의 $C$ 에 $\frac{3}{2}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$C$ 에 $\frac{3}{2}$ 를 대입합니다.

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

단계 9.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

단계 9.2.2

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$