미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = 9 e^{x + 7}$ , $y (- 7) = 0$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d y = 9 e^{x + 7} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d y = \int 9 e^{x + 7} d x$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} = \int 9 e^{x + 7} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} = 9 \int e^{x + 7} d x$

단계 2.3.2

먼저 $u = x + 7$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.3.2.1

$u = x + 7$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.3.2.1.1

$x + 7$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

단계 2.3.2.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 2.3.2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 2.3.2.1.4

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.3.2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.3.2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$y + C_{1} = 9 \int e^{u} d u$

단계 2.3.3

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$y + C_{1} = 9 (e^{u} + C_{2})$

단계 2.3.4

간단히 합니다.

$y + C_{1} = 9 e^{u} + C_{2}$

단계 2.3.5

$u$ 를 모두 $x + 7$ 로 바꿉니다.

$y + C_{1} = 9 e^{x + 7} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y = 9 e^{x + 7} + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $y = 9 e^{x + 7} + K$ 에서 $x$ 에 $- 7$ 을, $y$ 에 $0$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$0 = 9 e^{- 7 + 7} + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$9 e^{- 7 + 7} + K = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$9 e^{- 7 + 7} + K = 0$

단계 4.2

$9 e^{- 7 + 7} + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 7$ 를 $7$ 에 더합니다.

$9 e^{0} + K = 0$

단계 4.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$9 \cdot 1 + K = 0$

단계 4.2.2.2

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 + K = 0$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$K = - 9$

단계 5

$y = 9 e^{x + 7} + K$ 의 $K$ 에 $- 9$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$K$ 에 $- 9$ 를 대입합니다.

$y = 9 e^{x + 7} - 9$