미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

단계 1

방정식의 양변에서 $5 y$ 를 뺍니다.

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - 5$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - 5 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{- 5 x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 5 x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{- 5 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{- 5 x}$ 을 곱합니다.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

단계 3.3

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = x$ 이고 $d v = e^{- 5 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$e^{- 5 x}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

단계 7.2.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ 을 묶습니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

단계 7.3

$- \frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

단계 7.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

단계 7.4.2

$\frac{1}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

단계 7.5

먼저 $u = - 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 5 d x$ 이므로 $- \frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$u = - 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.1

$- 5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

단계 7.5.1.2

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 \cdot 1$

단계 7.5.1.4

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5$

단계 7.5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

단계 7.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

단계 7.6.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

단계 7.7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

단계 7.8

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

단계 7.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.9.1

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

단계 7.9.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

단계 7.10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

단계 7.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.11.1

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ 을 $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

단계 7.11.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.11.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

단계 7.11.2.2

$e^{- 5 x}$ 와 $\frac{x}{5}$ 을 묶습니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

단계 7.12

$u$ 를 모두 $- 5 x$ 로 바꿉니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

단계 7.13

$e^{- 5 x}$ 와 $\frac{1}{25}$ 을 묶습니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

단계 7.14

항을 다시 정렬합니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$e^{- 5 x}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

단계 8.1.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ 을 묶습니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

단계 8.1.3

$e^{- 5 x}$ 와 $\frac{1}{25}$ 을 묶습니다.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

단계 8.2

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ 의 각 항을 $e^{- 5 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ 의 각 항을 $e^{- 5 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$e^{- 5 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.3.1.2

$\frac{1}{e^{- 5 x}}$ 에 $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.3.1.3

$e^{- 5 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.3.1.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.3.1.5

$\frac{1}{e^{- 5 x}}$ 에 $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.3.1.6

$e^{- 5 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 8.2.3.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

단계 9

초기 조건을 활용하여 $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ 에서 $x$ 에 $0$ 을, $y$ 에 $3$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

단계 10

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

단계 10.2

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$0$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

단계 10.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

단계 10.2.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

단계 10.2.2.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

단계 10.2.2.3

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

단계 10.2.3

$0$ 에서 $\frac{1}{25}$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{25} + C = 3$

단계 10.3

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

방정식의 양변에 $\frac{1}{25}$ 를 더합니다.

$C = 3 + \frac{1}{25}$

단계 10.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{25}{25}$ 을 곱합니다.

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

단계 10.3.3

$3$ 와 $\frac{25}{25}$ 을 묶습니다.

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

단계 10.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

단계 10.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.5.1

$3$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$C = \frac{75 + 1}{25}$

단계 10.3.5.2

$75$ 를 $1$ 에 더합니다.

$C = \frac{76}{25}$

단계 11

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ 의 $C$ 에 $\frac{76}{25}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$C$ 에 $\frac{76}{25}$ 를 대입합니다.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

단계 11.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

단계 11.2.2

조합합니다.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

단계 11.2.3

$76$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$