미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $1 + 2 y$ 을 곱합니다.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

단계 1.2

$1 + 2 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

단계 1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

단계 2.2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

단계 2.2.3

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

단계 2.2.4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

단계 2.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

간단히 합니다.

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

단계 2.2.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

단계 2.2.5.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

단계 2.2.5.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

단계 2.2.5.2.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

단계 2.2.6

항을 다시 정렬합니다.

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

단계 2.3.3

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ 을 $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

단계 2.3.3.2.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$y^{2} + y = x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$y^{2} + y - x^{2} = K$

단계 3.1.2

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

단계 3.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 1$ , $c = - x^{2} - K$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.4

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.5

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

단계 3.5

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$