미적분 예제

$x (\frac{d y}{d x}) + y = x y^{3}$

단계 1

베르누이 방법에 맞도록 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$x \frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

단계 1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

단계 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

단계 1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

단계 1.3.2

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{3}$

단계 1.4

$\frac{y}{x}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{3}$

단계 1.5

$y$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$

단계 2

미분 방정식을 풀려면 $y^{3}$ 의 지수가 $n$ 일 때 $v = y^{1 - n}$ 로 둡니다.

$v = y^{- 2}$

단계 3

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

단계 4

$x$ 에 대해 $y$ 의 도함수를 구합니다.

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

단계 5

$x$ 에 대해 $v^{- \frac{1}{2}}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$v^{- \frac{1}{2}}$ 도함수를 구합니다.

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

단계 5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

단계 5.3

$f (x) = 1$ , $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.4.2

${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.4.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.4.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

단계 5.5

간단히 합니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 5.6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 5.6.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$v^{\frac{1}{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 5.6.2.2

$0$ 에서 $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ 을 뺍니다.

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 5.6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

단계 5.7

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = v$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.7.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.7.3

$u$ 를 모두 $v$ 로 바꿉니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.11.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.13

$\frac{1}{2}$ 와 $v^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $v^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

단계 5.15

$\frac{d}{d x} [v]$ 을 $v'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

단계 5.16

$\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 와 $v'$ 을 묶습니다.

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

단계 5.17

$\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

단계 5.18

$\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{v}$ 을 곱합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

단계 5.19

$v$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

단계 5.20

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 5.21

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 5.22

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 5.23

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

단계 6

원래 방정식 $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$ 에서 $\frac{d y}{d x}$ 은 $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 으로, $y$ 은 $v^{- \frac{1}{2}}$ 로 치환합니다.

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

단계 7

치환 미분 방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 의 각 항에 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 의 각 항에 $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 을 곱합니다.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1

$2 v^{\frac{3}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.2

$- (2 v^{\frac{3}{2}})$ 에서 $2 v^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.5

지수를 더하여 $v^{- \frac{1}{2}}$ 에 $v^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.1.5.1

$v^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.4

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.5.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.6

$- 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.7

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.8

$- 2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.10

$v$ 와 $\frac{2}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.2.1.11

$v$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

단계 7.1.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1 \cdot 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

단계 7.1.1.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

단계 7.1.1.3.3

${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

단계 7.1.1.3.3.2

$- \frac{1}{2} \cdot 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.3.2.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

단계 7.1.1.3.3.2.2

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

단계 7.1.1.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

단계 7.1.1.3.4

지수를 더하여 $v^{- \frac{3}{2}}$ 에 $v^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.4.1

$v^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

단계 7.1.1.3.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

단계 7.1.1.3.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3 - 3}{2}}$

단계 7.1.1.3.4.4

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{0}{2}}$

단계 7.1.1.3.4.5

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{0}$

단계 7.1.1.3.5

$- 2 v^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2$

단계 7.1.2

$- \frac{2 v}{x}$ 에서 $v$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 2$

단계 7.1.3

$v$ 와 $- \frac{2}{x}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 2$

단계 7.2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = - \frac{2}{x}$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

단계 7.2.2

$- \frac{2}{x}$ 를 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

단계 7.2.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

단계 7.2.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

단계 7.2.2.4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

단계 7.2.2.5

간단히 합니다.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

단계 7.2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{- 2 \ln (x)}$

단계 7.2.4

로그 멱의 법칙을 사용합니다.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

단계 7.2.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$x^{- 2}$

단계 7.2.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{2}}$

단계 7.3

각 항에 적분 인수 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

각 항에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

단계 7.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $\frac{d v}{d x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

단계 7.3.2.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

단계 7.3.2.3

$\frac{2}{x}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

단계 7.3.2.4

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.1

$\frac{2 v}{x}$ 에 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

단계 7.3.2.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.2.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.2.4.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

단계 7.3.2.4.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

단계 7.3.2.4.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

단계 7.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}}$

단계 7.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{2}{x^{2}}$

단계 7.4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{2}{x^{2}}$

단계 7.5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

단계 7.6

좌변을 적분합니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

단계 7.7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{2}{x^{2}} d x$

단계 7.7.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = - (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

단계 7.7.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 7.7.3.2

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 7.7.3.3

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 7.7.3.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{- 2} d x$

단계 7.7.4

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- x^{- 1} + C)$

단계 7.7.5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.5.1

$- 2 (- x^{- 1} + C)$ 을 $- 2 (- \frac{1}{x}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- \frac{1}{x}) + C$

단계 7.7.5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.5.2.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = 2 \frac{1}{x} + C$

단계 7.7.5.2.2

$2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{2}{x} + C$

단계 7.8

$v$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1

변수를 포함한 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.1.1

방정식의 양변에서 $\frac{2}{x}$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} = C$

단계 7.8.1.2

방정식의 양변에서 $C$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} - C = 0$

단계 7.8.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $v$ 을 묶습니다.

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{2}{x} - C = 0$

단계 7.8.2

$v$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.2.1

방정식의 양변에 $\frac{2}{x}$ 를 더합니다.

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{2}{x}$

단계 7.8.2.2

방정식의 양변에 $C$ 를 더합니다.

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} + C$

단계 7.8.3

양변에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

단계 7.8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.1.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

단계 7.8.4.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$v = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

단계 7.8.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.2.1

$(\frac{2}{x} + C) x^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$v = \frac{2}{x} x^{2} + C x^{2}$

단계 7.8.4.2.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.8.4.2.1.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

단계 7.8.4.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

단계 7.8.4.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$v = 2 x + C x^{2}$

단계 7.8.4.2.1.3

$2 x$ 와 $C x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$v = C x^{2} + 2 x$

단계 8

$v$ 에 $y^{- 2}$ 를 대입합니다.

$y^{- 2} = C x^{2} + 2 x$