미적분 예제

$2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x) d x + e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)]$

단계 1.2

$2 e^{2 x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ 의 미분은 $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$

단계 1.3

$f (y) = y$ , $g (y) = x^{2} - y + x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \frac{d}{d y} [x^{2} - y + x] + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4

미분합니다.

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단계 1.4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - y + x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.2

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- y]$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.7

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + 0) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.8

식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.8.1

$- 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \cdot - 1 + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.8.2

$y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- 1 \cdot y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.8.3

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

단계 1.4.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \cdot 1)$

단계 1.4.10

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.4.10.1

$x^{2} - y + x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + x^{2} - y + x)$

단계 1.4.10.2

$- y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (x^{2} - 2 y + x)$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} (- 2 y) + 2 e^{2 x} x$

단계 1.5.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$

단계 2

$N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} - 2 y)]$

단계 2.2

$f (x) = e^{2 x}$ , $g (x) = x^{2} - 2 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 y] + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.3.3

$- 2 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2 y$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + 0) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.3.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 2.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \cdot 1)$

단계 2.5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} \cdot 2$

단계 2.5.3.2

$(x^{2} - 2 y) e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 \cdot ((x^{2} - 2 y) e^{2 x})$

단계 2.6

간단히 합니다.

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단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (2 x^{2} + 2 (- 2 y)) e^{2 x}$

단계 2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 (- 2 y) e^{2 x}$

단계 2.6.3

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

단계 2.6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$

단계 2.6.5

$2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ 을 대입합니다.

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y$

단계 5

$N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

$e^{2 x}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $e^{2 x}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = e^{2 x} \int x^{2} - 2 y d y$

단계 5.2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (\int x^{2} d y + \int - 2 y d y)$

단계 5.3

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C + \int - 2 y d y)$

단계 5.4

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 \int y d y)$

단계 5.5

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

단계 5.6

간단히 합니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$f (x) = e^{2 x}$ , $g (x) = x^{2} y - y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} y - y^{2}] + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} y - y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ 가 됩니다.

$e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.3

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x^{2} y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{2 x} (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.5

$- y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- y^{2}$ 입니다.

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.6.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.7

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.9

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{2 x} (2 \cdot y x + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.10

$2 y x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.11

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.12

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.3.13

$x^{2} y - y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.5

간단히 합니다.

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단계 8.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{2 x} (2 y x) + (2 (x^{2} y) + 2 (- y^{2})) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y) e^{2 x} + 2 (- y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.5.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} (2 y x) + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 8.5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1.1

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

단계 9.1.2

$2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y e^{2 x} (- y) + 2 y e^{2 x} x$

단계 9.1.2.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 9.1.2.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 (y \cdot y) e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

단계 9.1.2.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y^{2} e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

단계 9.1.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$

단계 9.1.2.4

$2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x}$

단계 9.1.3

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.1

방정식의 양변에서 $2 x y e^{2 x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x}$

단계 9.1.3.2

방정식의 양변에서 $2 x^{2} y e^{2 x}$ 를 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x}$

단계 9.1.3.3

방정식의 양변에 $2 y^{2} e^{2 x}$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

단계 9.1.3.4

$2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.3.4.1

인수가 항 $2 y x e^{2 x}$ 과(와) $- 2 x y e^{2 x}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} x y - 2 e^{2 x} x y - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

단계 9.1.3.4.2

$2 e^{2 x} x y$ 에서 $2 e^{2 x} x y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

단계 9.1.3.4.3

$2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

단계 9.1.3.4.4

인수가 항 $2 y x^{2} e^{2 x}$ 과(와) $- 2 x^{2} y e^{2 x}$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 e^{2 x} x^{2} y + 2 y^{2} e^{2 x}$

단계 9.1.3.4.5

$2 e^{2 x} x^{2} y$ 에서 $2 e^{2 x} x^{2} y$ 을 뺍니다.

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 + 2 y^{2} e^{2 x}$

단계 9.1.3.4.6

$- 2 y^{2} e^{2 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

단계 9.1.3.4.7

$- 2 y^{2} e^{2 x}$ 를 $2 y^{2} e^{2 x}$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = 0$

단계 10

$0$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int 0 d x$

단계 10.3

$0$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $0$ 입니다.

$g (x) = 0 + C$

단계 10.4

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$g (x) = C$

단계 11

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

단계 12

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$ 을 간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) + e^{2 x} (- y^{2}) + C$

단계 12.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$

단계 12.2

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f (x, y) = x^{2} y e^{2 x} - y^{2} e^{2 x} + C$