미적분 예제

$x d x + \frac{1}{y} d y = 0$

단계 1

방정식의 양변에서 $x d x$ 를 뺍니다.

$\frac{1}{y} d y = - x d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

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단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x d x$

단계 2.2

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x$

단계 2.3.2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

단계 2.3.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 을 $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$y$ 을 구하기 위해 로그의 성질을 이용하여 방정식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

단계 3.2

로그의 정의를 이용하여 $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ 를 지수 형태로 다시 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수와 $b \neq 1$ 이면, $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

단계 3.3.2

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

단계 3.3.3

절대값의 항을 제거합니다. $| x | = \pm x$ 이므로 방정식 우변에 $\pm$ 이 생깁니다.

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

단계 4

상수 항을 하나로 묶습니다.

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단계 4.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ 을 $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

단계 4.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ 와 $e^{C}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

단계 4.3

양 또는 음의 상수를 결합합니다.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2}}$