미적분 예제

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

단계 1

$\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 로 미분 방정식을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

방정식의 양변에 $x^{2}$ 를 더합니다.

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

단계 1.2

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ 의 각 항을 $x$ 로 나눕니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

단계 1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

단계 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

단계 1.4

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

단계 1.4.2

$2 y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

단계 1.5

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

단계 1.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

단계 1.5.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

단계 1.5.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

단계 1.5.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

단계 1.5.2.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

단계 2

적분 인수는 $e^{\int P (x) d x}$ 공식으로 정의됩니다. 여기서는 $P (x) = 2$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

적분을 구합니다.

$e^{\int 2 d x}$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$e^{2 x + C}$

단계 2.3

적분 상수를 소거합니다.

$e^{2 x}$

단계 3

각 항에 적분 인수 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항에 $e^{2 x}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

단계 3.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

단계 3.3

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

단계 4

곱을 미분한 결과로 좌변을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

단계 5

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

단계 6

좌변을 적분합니다.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

단계 7

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = x$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

단계 7.2.2

$x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

단계 7.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

단계 7.4

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 7.4.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 7.4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 7.4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

단계 7.5

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 7.6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

단계 7.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

단계 7.7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

단계 7.8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

단계 7.9

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ 을 $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

단계 7.10

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

단계 8

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ 의 각 항을 $e^{2 x}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ 의 각 항을 $e^{2 x}$ 로 나눕니다.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1

$e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.1.1.2

$\frac{1}{2} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.1.2

$e^{2 x}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.1.2.2

$- \frac{1}{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.2

$\frac{1}{2} x$ 에서 $\frac{1}{4}$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $x \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.2.3

$x \frac{1}{2}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.3.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 x - 1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

단계 8.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{C}{e^{2 x}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

단계 8.3.6

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4 e^{2 x}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.6.1

$\frac{2 x - 1}{4}$ 에 $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

단계 8.3.6.2

$\frac{C}{e^{2 x}}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

단계 8.3.6.3

$e^{2 x} \cdot 4$ 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

단계 8.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

단계 8.3.8

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

단계 8.3.8.2

$- 1 e^{2 x}$ 을 $- e^{2 x}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

단계 8.3.8.3

$C$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$