미적분 예제

$(2 x - 1) d x = - (3 y + 7) d y$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$- (3 y + 7) d y = (2 x - 1) d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int - (3 y + 7) d y = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- (3 y + 7)$ 을 곱합니다.

$\int - (3 y) - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int - 3 y - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.2.2

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\int - 3 y - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 3 y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.4

$- 3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 \int y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.5

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.6

상수 규칙을 적용합니다.

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$- 3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.7.2

간단히 합니다.

$\frac{- 3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.2.8

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

단계 2.3.4

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = x^{2} - x + C_{6}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$y^{2}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

단계 3.1.2

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

단계 3.2

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} = - x + K$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x = K$

단계 3.2.3

방정식의 양변에서 $K$ 를 뺍니다.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x - K = 0$

단계 3.3

식 전체에 최소공분모 $2$ 을 곱한 다음 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (- \frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- \frac{3 y^{2}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 3 y^{2} + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2.2

$- 7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 y^{2} - 14 y + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

단계 3.3.2.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

단계 3.3.3

$- 14 y$ 를 옮깁니다.

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 2 K - 14 y = 0$

단계 3.3.4

$2 x$ 를 옮깁니다.

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

단계 3.3.5

$- 3 y^{2}$ 와 $- 2 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

단계 3.4

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 3.5

이차함수의 근의 공식에 $a = - 3$ , $b = - 14$ , $c = - 2 x^{2} - 2 K + 2 x$ 을 대입하여 $y$ 를 구합니다.

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.1

$- 14$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.2

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.4.1

$- 2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.4.2

$- 2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.4.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.5

$196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.5.1

$196$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.5.2

$- 24 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.5.3

$- 24 K$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.5.4

$24 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.5.5

$4 (49) + 4 (- 6 x^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.5.6

$4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.5.7

$4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.6

$4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ 을 $2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1.6.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.6.2

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.1.8

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$

단계 3.6.3

$\frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$ 을 간단히 합니다.

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 3}$

단계 3.6.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

단계 3.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$