미적분 예제

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $\frac{1}{r^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

조합합니다.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

단계 1.2.2

$r^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

단계 1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.2

좌변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$r^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.2.1.2

${(r^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.2.1.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.2.2

멱의 법칙에 의해 $r^{- 2}$ 를 $r$ 에 대해 적분하면 $- r^{- 1}$ 가 됩니다.

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.2.3

$- r^{- 1} + C_{1}$ 을 $- \frac{1}{r} + C_{1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

단계 2.3

$\frac{1}{θ}$ 를 $θ$ 에 대해 적분하면 $\ln (| θ |)$ 입니다.

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $C$ 로 묶습니다.

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

단계 3

$r$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$r, 1, 1$

단계 3.1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$r$

단계 3.2

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ 의 각 항에 $r$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ 의 각 항에 $r$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

단계 3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$r$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{r}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

단계 3.2.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

단계 3.2.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

단계 3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$\ln (| θ |) r + C r$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

단계 3.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

단계 3.3.2

$r \ln (| θ |) + C r$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$C r$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

단계 3.3.2.2

$r \ln (| θ |) + r C$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

단계 3.3.3

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ 의 각 항을 $\ln (| θ |) + C$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ 의 각 항을 $\ln (| θ |) + C$ 로 나눕니다.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

단계 3.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$\ln (| θ |) + C$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

단계 3.3.3.2.1.2

$r$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

단계 3.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

단계 4

초기 조건을 활용하여 $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ 에서 $θ$ 에 $1$ 을, $r$ 에 $2$ 를 대입하여 $C$ 값을 구합니다.

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

단계 5

$C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

단계 5.2

각 항을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

단계 5.2.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

단계 5.2.3

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{C} = 2$

단계 5.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$C, 1$

단계 5.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$C$

단계 5.4

$- \frac{1}{C} = 2$ 의 각 항에 $C$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- \frac{1}{C} = 2$ 의 각 항에 $C$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$C$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$- \frac{1}{C}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

단계 5.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

단계 5.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = 2 C$

단계 5.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$2 C = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 C = - 1$

단계 5.5.2

$2 C = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$2 C = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 5.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 5.5.2.2.1.2

$C$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$C = \frac{- 1}{2}$

단계 5.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$C = - \frac{1}{2}$

단계 6

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ 의 $C$ 에 $- \frac{1}{2}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$C$ 에 $- \frac{1}{2}$ 를 대입합니다.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

단계 6.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (| θ |)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

단계 6.2.2

$\ln (| θ |)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

단계 6.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

단계 6.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$\ln (| θ |) \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1.1

$\ln (| θ |)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

단계 6.2.4.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \cdot \ln (| θ |)$ 을 간단히 합니다.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

단계 6.2.4.2

짝수 거듭제곱을 갖는 멱법은 항상 양수이기 때문에 ${| θ |}^{2}$ 에서 절댓값을 제거합니다.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

단계 6.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

단계 6.4

$\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$