미적분 예제

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

단계 1

식을 다시 씁니다.

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

단계 2.2

상수 규칙을 적용합니다.

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

단계 2.3.2

$8$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

단계 2.3.4

$- \cot (t)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (t)$ 이므로, $\csc^{2} (t)$ 의 적분값은 $- \cot (t)$ 이 됩니다.

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

단계 2.3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

단계 2.3.5.2

간단히 합니다.

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

단계 3

초기 조건을 활용하여 $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ 에서 $t$ 에 $\frac{π}{2}$ 을, $v$ 에 $- 7$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

단계 4

$K$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.1

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ 을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.1

$\frac{π}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

단계 4.2.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

단계 4.2.1.1.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

단계 4.2.1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

단계 4.2.1.1.4

$\cot (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$π^{2} - 0 + K = - 7$

단계 4.2.1.1.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π^{2} + 0 + K = - 7$

단계 4.2.1.2

$π^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π^{2} + K = - 7$

단계 4.3

방정식의 양변에서 $π^{2}$ 를 뺍니다.

$K = - 7 - π^{2}$

단계 5

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ 의 $K$ 에 $- 7 - π^{2}$ 를 대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$K$ 에 $- 7 - π^{2}$ 를 대입합니다.

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$