미적분 예제

$(x^{2} - y) d x - x d y = 0$

단계 1

$M (x, y) = x^{2} - y$ 인 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 을 구합니다.

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단계 1.1

$y$ 에 대해 $M$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y]$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 1.2.2

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 1.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1$

단계 1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

단계 1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

단계 2

$N (x, y) = - x$ 인 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 을 구합니다.

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단계 2.1

$x$ 에 대해 $N$ 을 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

단계 2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

단계 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 를 확인합니다.

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단계 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ 에 $- 1$ 을, $\frac{\partial N}{\partial x}$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$- 1 = - 1$

단계 3.2

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$- 1 = - 1$ 은 항등식입니다.

단계 4

집합 $f (x, y)$ 을 $N (x, y)$ 의 적분과 같게 둡니다.

$f (x, y) = \int - x d y$

단계 5

$N (x, y) = - x$ 을 적분하여 $f (x, y)$ 을 구합니다.

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단계 5.1

상수 규칙을 적용합니다.

$f (x, y) = - x y + C$

단계 6

$g (x)$ 의 적분에 적분 상수가 있으므로 $C$ 에 $g (x)$ 을 대입할 수 있습니다.

$f (x, y) = - x y + g (x)$

단계 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 으로 둡니다.

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y$

단계 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1

$x$ 에 대해 $f$ 을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x y + g (x)] = x^{2} - y$

단계 8.2

합의 법칙에 의해 $- x y + g (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y$

단계 8.3

$\frac{d}{d x} [- x y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 8.3.1

$- y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y$

단계 8.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y$

단계 8.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y$

단계 8.4

$g (x)$ 의 도함수가 $\frac{d g}{d x}$ 인 함수 규칙을 사용하여 미분합니다.

$- y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y$

단계 8.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{d g}{d x} - y = x^{2} - y$

단계 9

$\frac{d g}{d x}$ 에 대해 풉니다.

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단계 9.1

$\frac{d g}{d x}$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 9.1.1

방정식의 양변에 $y$ 를 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y + y$

단계 9.1.2

$x^{2} - y + y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.1.2.1

$- y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

단계 9.1.2.2

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

단계 10

$x^{2}$ 의 역도함수를 구하여 $g (x)$ 을 구합니다.

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단계 10.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$ 의 양쪽을 모두 적분합니다.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

단계 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ 의 값을 구합니다.

$g (x) = \int x^{2} d x$

단계 10.3

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 11

$f (x, y) = - x y + g (x)$ 에서 $g (x)$ 을 대입합니다.

$f (x, y) = - x y + \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 12

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f (x, y) = - x y + \frac{x^{3}}{3} + C$